Matematika Distrik
Nama : Taufik
Pratama
NIM :
1801301072
Prodi :
Teknik Informatika 1A
Matkul : Matdis 1
Devinisi Relasi
Relasi adalah aturan yang menghubungkan setiap anggota
himpunan A ke himpunan B. Dimana A disebut domain (daerah asal) dan B disebut
kodomain (daerah kawan).
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Contoh
:
Misal A
= {2, 4, 6} dan B = {2, 4, 6, 8 }.
A × B menjadi
:
A × B =
{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6,
4), (6, 6), (6, 8)}
Jika
menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas, relasi R dari A ke
B yang mengikuti aturan
tadi menjadi,
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}
Hubungan/Relasi
bisa juga terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan, yaitu hubungan
pada A, di himpunan A, yang
merupakan himpunan A × A.
Macam-macam Relasi dan
Sifat-sifat Relasi :
A. Relasi BINER
Adalah hasil kali 2 himpunan
atau relasi yang menghubungkan 2 himpunan yang himpunan bagianya tidak kosong.
Sifat-sifat relasi biner :
1.
Reflektif
Suatu relasi bersifat reflektif , jika setiap x є A,
maka (A,A) є R
Contoh :
B = {1,2,3} dan
R = {(x,y)│x,y є B, xy > 0}
Apakah R
reflektif atau tidak ?
B x B =
{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3) dari hasil kali Cartesian
kita memperoleh R = {(1,1),(2,2),(3,3)}. Karena semua hasil xy > 0
dan x є B, maka R adalah relasi yang reflektif.
2. Simetris
Suatu relasi
bersifat simetrik, jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx
Contoh :
M = {-2,-1, 0, 1, 2} dan R = {(x,y)
│x,y є M, xy > 0}
Apakah R simetris atau tidak?
M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0),
(-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2), (0,-2), (0,-1), (0,0),
(0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2),(2,-1), (2, 0), (2,
1), (2, 2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh R = {(-2,-2),
(-2,-1), (-1,-2), (-1,-1), (1, 1), (1, 2), (2, 2)}. Dari sini jelas terlihat
bahwa untuk setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan x,y є M. Jadi R
adalah sebuah relasi yang simetris.
3. Antisimetris
Suatu Relasi bersifat antisimetris,
jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx maka x = y.
Contoh :
A = {-2,-1,0,1,2} dan R =
{(x,y) │x,y є A, y = │x }
Apakah R antisimetris atau tidak ?
M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0),
(-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-2), (0,-1), (0,0),
(0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2),(2,-1), (2,0), (2,1),
(2,2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh R =
{(-2,2),(-1,1),(1,1),(0,0),(2,2)}. Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap
(x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan x,yєA. Jadi R adalah sebuah relasi yang
Antrisimetris.
4. Transitif
Suatu Relasi bersifat transitif, jika
setiap x,y,z є A dengan xRy, yRz, dan xRz.
Contoh :
A = {-1,0,1} dan R = {(x,y) │x,y є
A, x ≥ y}
Apakah R transitif atau tidak Punya
:
A x A = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1),
(0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)} . Dari hasil kali Cartesian kita
memperoleh, R = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,0), (0,1), (1,1)}. Dari sini jelas
terlihat bahwa untuk setiap (x,y,z є A)
dengan xRy dan yRz, berlaku xRz.
B. Relasi Ekuivalensi
Adalah relasi
yang memenuhi 3 sifat relasi yaitu reflektif, simetris dan transitif.
Contoh :
B = {a,b,c,d}
dan R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)}
Apakah R
ekivalen atau tidak ?
Reflektif :
{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, ya reflektif karena x є B berlaku (x,x) є R.
Simetris : Karena untuk setiap x,y є B dengan
xRy berlaku yRx, maka R simetris.
Transitif : {(a,b),(b,a),(a,a)}, karena x,y,z є B
dengan xRy dan yRz berlaku xRz, Maka adalah
relasi yang transitif.
Karena tiga
sifat diatas yaitu reflektif, simetrik dan transitif dipenuhi maka kita
dapat simpulkan bahwa R adalah relasi ekivalen.
C. Relasi Tolak Parsial (POSET)
Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial jika ia
refleksif, tolak setangkup, dan menghantar. Himpunan S bersama-sama dengan relasi disebut himpunan terurut
sacara parsial, dan dilambangkan dengan (S, R).
Contoh 1:
Relasi pada himpunan bilangan
bulat adalah relasi pengurutan parsial.
Penyelesaian:
Relasi
refleksif
: karena A, A untuk setiap bilangan bulat A
Relasi tolak-setangkup :
karena jika a b
dan b , maka a = b.
Relasi
menghantar
: karena jika a b dan b c maka a c.
Contoh 2:
A = himpunan siswa SMP
R = relasi pada A
(a, b)
R jika a sekelas dengan b. Tentukan (A, R)
Penyelesaian:
R refleksif
: setiap siswa SMP sekelas dengan
dirinya sendiri
R tolak setangkup : jika a sekelas dengan b, maka b pasti dengan a.
R menghantar
: jika a sekelas
dengan b dan b sekelas dengan c, maka pastilah a sekelas dengan C.
Catatan : Secara
intuitif, di dalam relasi pengurutan porsial, 2 benda
saling berhubungan jika salah
satunya lebih kecil (lebih besar) atau lebih
rendah (lebih tinggi) daripada
lainnya.
D. Representasi
Representasi Notasi : R ⊆ (A x B)
Jika (a, b) ∈ R ,
maka kita dapat gunakan notasi a R b yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R. Namun jika
(a, b) ∉ R, maka kita dapat
gunakan notasi a R b yang artinya a tidak dihubungkan dengan b
oleh relasi R. Misalkan P = {2,4,6} dan Q =
{2,4,8,10,12,13}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan
: (p,q) ∈ R jika p habis
membagi q. Maka kita peroleh
R =
{(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}.
Representasi Table
Relasi dapat direpresentasikan menggunakan tabel. Kolom pertama untuk
menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua untuk menyatakan daerah hasil.
Misalkan P = {2,4,6} dan Q = {2,4,8,10,12,13}. Jika kita
definisikan relasi R dari P ke Q dengan : (p,q) ∈ R jika p habis membagi q. Maka kita
peroleh
R =
{(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}
Representasi Matriks
Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, an} dan B
={b1, b2, …, bn}. Relasi R dapat disajikan dengan
matriks M = [mij], dimana
Dengan kata lain, elemen matriks bernilai 1 jika a¡ dihubungkan
dengan bj, dan bernilai 0 jika tidak dihubungkan dengan bj.
Relasi pada contoh 1 dapat dinyatakan dengan matriks berikut :
Dalam hal ini, a1 = Andi, a2 = Beni, a3 = Caca, dan b1
= TI231, b2 = TI321, b3 = TI412, b4 = TI221.
Representasi Graf Berarah
Pada graf berarah, tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik
(vertex), dan tiap pasangan nya dinyatakan dengan busur (arc)
yang arahnya ditunjukkan pada sebuahpanah. Jadi, jika (a, b) ∈ R, maka busur dibuat dari simpul a ke
simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)
dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).
Contoh :
a. Representasi graf untuk relasi R = {(a,b), (a,c), (b,a), (b,c),
(c,d),(a,d)}.
b. Representasi graf untuk relasi R =
{(2,2), (2,5), (2,7), (3,8)}.
Setiap elemen pada himpunan A maupun himpunan B gambarkan dengan sebuah simpul (titik bulat) dan arah dari suatu elemen ke elemen yang lainnya ditunjukkan dengan sebuah panah.
Setiap elemen pada himpunan A maupun himpunan B gambarkan dengan sebuah simpul (titik bulat) dan arah dari suatu elemen ke elemen yang lainnya ditunjukkan dengan sebuah panah.
Sumber :
Tidak ada komentar